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　　【试卷】2017年福建省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)_高考_高中教育_教育专区。2017 年福建省高考数学试卷（文科） （全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （5 分）已知集

　　2017 年福建省高考数学试卷（文科） （全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （5 分）已知集合 A={xx＜2}，B={x3﹣2x＞0}，则（ ） A．A∩B={xx＜ } B．A∩B=? C．A∪B={xx＜ } D．AUB=R 2． （5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩 产量（单位：kg）分别是 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种 农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 3． （5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） ） C． （1+i）2 D．i（1+i） 4． （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． =1 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x ） 5． （5 分）已知 F 是双曲线﹣ 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则△APF 的面积为（ A． B． C． D． 6． （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 （ 第 1 页（共 23 页） ） A． B． C ． D． 7． （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 的部分图象大致为（ ） 8． （5 分）函数 y= A． B ． C． D． ） 9． （5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x） ，则（ A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线 对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 10． （5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 第 2 页（共 23 页） 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） A．A＞1000 和 n=n+1 C．A≤1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 D．A≤1000 和 n=n+2 11． （5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c= A． B． C． ，则 C=（ D． + =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满 ） C． （ 0 ， 1] ∪ [4 ， + ∞ ） ） 12． （5 分）设 A，B 是椭圆 C： 足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是（ A． （0，1]∪[9，+∞） B． （0， D． （0， ]∪[4，+∞） ]∪[9，+∞） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． （5 分） 已知向量 = （﹣1， 2） ，= （m， 1） ， 若向量 + 与 垂直， 则 m= 14． （5 分）曲线）处的切线，则 cos（α﹣ ）= ． ． ． 16． （5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，福建高考试卷三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9，则球 O 第 3 页（共 23 页） 的表面积为 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21 题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：共 60 分。 17． （12 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2=2，S3=﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列． 18． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ，求该四棱 锥的侧面积． 19． （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从 该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm） ．下面是检验员在一 天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 1 9.95 9 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 4 9.96 12 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 7 9.98 15 8 10.04 16 9.95 ≈0.212， 零件尺寸 10.26 经计算得 = 10.13 10.02 10.04 10.05 = xi=9.97，s= ≈18.439， （xi﹣ ） （i﹣8.5）=﹣2.78，其中 xi 为抽取的第 i 个 零件的尺寸，i=1，2，…，16． （1）求（xi，i） （i=1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生 第 4 页（共 23 页） 产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 r＜0.25，则可以 认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小） ． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进 行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生 产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差． （精确到 0.01） 附：样本（xi，yi） （i=1，2，…，n）的相关系数 r= ， ≈0.09． 20． （12 分）设 A，B 为曲线）求直线）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求 直线 分）已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）≥0，求 a 的取值范围． 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲]（10 分） 22． （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ． ， （θ 为参数） ， （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 第 5 页（共 23 页） 23．已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=x+1+x﹣1． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 第 6 页（共 23 页） 2017 年福建省高考数学试卷（文科） （全国新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． （5 分）已知集合 A={xx＜2}，B={x3﹣2x＞0}，则（ ） A．A∩B={xx＜ } B．A∩B=? C．A∪B={xx＜ } D．AUB=R 【解答】解：∵集合 A={xx＜2}，B={x3﹣2x＞0}={xx＜ }， ∴A∩B={xx＜ }，故 A 正确，B 错误； A∪B={xx＜2}，故 C，D 错误； 故选：A 2． （5 分）为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩 产量（单位：kg）分别是 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种 农作物亩产量稳定程度的是（ ） A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 【解答】解：在 A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集 中趋势的一项指标， 故 A 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物 亩产量稳定程度； 在 C 中， 最大值是一组数据最大的量， 故 C 不可以用来评估这种农作物亩产量稳 定程度； 在 D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水 平”， 故 D 不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B． 第 7 页（共 23 页） 3． （5 分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） ） C． （1+i）2 D．i（1+i） 【解答】解：A．i（1+i）2=i?2i=﹣2，是实数． B．i2（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数． C． （1+i）2=2i 为纯虚数． D．i（1+i）=i﹣1 不是纯虚数． 故选：C． 4． （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是（ ） A． B． C． D． 【解答】 解： 根据图象的对称性知， 黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为 1， 则正方形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S= ， 则对应概率 P= 故选：B = ， 5． （5 分）已知 F 是双曲线 的右焦点，P 是 C 上一点，且 PF 与 x ） 轴垂直，点 A 的坐标是（1，3） ，则△APF 的面积为（ A． B． C． D． 第 8 页（共 23 页） 【解答】解：由双曲线） ， PF 与 x 轴垂直，设（2，y） ，y＞0，则 y=3， 则 P（2，3） ， ∴AP⊥PF，则丨 AP 丨=1，丨 PF 丨=3， ∴△APF 的面积 S= ×丨 AP 丨×丨 PF 丨= ， 同理当 y＜0 时，则△APF 的面积 S= ， 故选 D． 6． （5 分）如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点， 则在这四个正方体中， 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 （ ） A． B． C ． D． 【解答】解：对于选项 B，由于 AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知 B 不满足 题意； 第 9 页（共 23 页） 对于选项 C，由于 AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意； 对于选项 D，由于 AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意； 所以选项 A 满足题意， 故选：A． 7． （5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 的可行域如图： 【解答】解：x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最大值， 由 解得 A（3，0） ， 所以 z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． 8． （5 分）函数 y= 的部分图象大致为（ ） A． B ． 第 10 页（共 23 页） C． 【解答】解：函数 y= ， D． 可知函数是奇函数，排除选项 B， 当 x= 时，f（ ）= = ，排除 A， x=π 时，f（π）=0，排除 D． 故选：C． 9． （5 分）已知函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x） ，则（ A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线 对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 【解答】解：∵函数 f（x）=lnx+ln（2﹣x） ， ∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx， 即 f（x）=f（2﹣x） ， 即 y=f（x）的图象关于直线 对称， 故选：C． ） 10． （5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000 的最小偶数 n，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入（ ） 第 11 页（共 23 页） A．A＞1000 和 n=n+1 C．A≤1000 和 n=n+1 B．A＞1000 和 n=n+2 D．A≤1000 和 n=n+2 【解答】解：因为要求 A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“ ”内不能输入“A＞1000”， 又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0， 所以“ ”中 n 依次加 2 可保证其为偶数，福建高考试卷 所以 D 选项满足要求， 故选：D． 11． （5 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinB+sinA（sinC ﹣cosC）=0，a=2，c= A． B． C． ，则 C=（ D． ） 【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， 第 12 页（共 23 页） ∵0＜A＜π， ∴A= ， = ， 由正弦定理可得 ∴sinC= ∵a=2，c= ∴sinC= ∵a＞c， ∴C= ， ， ， = = ， 故选：B． 12． （5 分）设 A，B 是椭圆 C： + =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满 ） C． （ 0 ， 1] ∪ [4 ， + ∞ ） 足∠AMB=120°，则 m 的取值范围是（ A． （0，1]∪[9，+∞） B． （0， D． （0， ]∪[4，+∞） ]∪[9，+∞） 【解答】解：假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0＜m＜3 时， 设椭圆的方程为： y＞0， 则 a2﹣x2= ， ，tanβ= ， =﹣ =﹣ （a＞b＞0） ，设 A（﹣a，0） ，B（a，0） ，M（x，y） ， ∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα= 则 tanγ=tan[π ﹣（ α+β ） ]= ﹣ tan （ α+β ） = ﹣ =﹣ =﹣ ， 第 13 页（共 23 页） ∴tanγ=﹣ ，当 y 最大时，即 y=b 时，∠AMB 取最大值， ∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= 解得：0＜m≤1； ≥tan60°= ， 当椭圆的焦点在 y 轴上时，m＞3， 当 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足∠ AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选 A． ≥tan60°= ，解得：m≥9， 第 14 页（共 23 页） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． （5 分） 已知向量 = （﹣1， 2） ，= （m， 1） ， 若向量 + 与 垂直， 则 m= 【解答】解：∵向量 =（﹣1，2） ， =（m，1） ， ∴ =（﹣1+m，3） ， 7 ． ∵向量 + 与 垂直， ∴（ ）? =（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得 m=7． 故答案为：7． 14． （5 分）曲线）处的切线方程为 【解答】解：曲线x﹣ 切线． 切线． 故答案为：x﹣y+1=0． ， x﹣y+1=0 ． 15． （5 分）已知 α∈（0， 【解答】解：∵α∈（0， ∴sinα=2cosα， ∵sin2α+cos2α=1， 解得 sinα= ∴cos（α﹣ 故答案为： ，cosα= ）=cosαcos ， ） ，tanα=2，则 cos（α﹣ ） ，tanα=2， ）= ． +sinαsin = × + × = ， 16． （5 分）已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直 第 15 页（共 23 页） 径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为 36π ． 【解答】解：三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径， 若平面 SCA⊥平面 SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥 S﹣ABC 的体积为 9， 可知三角形 SBC 与三角形 SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为 r， 可得 ，解得 r=3． 球 O 的表面积为：4πr2=36π． 故答案为：36π． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第 17～21 题为必选题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求 作答。 （一）必考题：共 60 分。 17． （12 分）记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2=2，S3=﹣6． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并判断 Sn+1，Sn，Sn+2 是否成等差数列． 【解答】解： （1）设等比数列{an}首项为 a1，福建高考试卷公比为 q， 则 a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则 a1= = ，a2= = ， 由 a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2， 则 a1=﹣2，an=（﹣2） （﹣2）n﹣1=（﹣2）n， ∴{an}的通项公式 an=（﹣2）n； 第 16 页（共 23 页） （2）由（1）可知：Sn= = =﹣ [2+（﹣2）n+1]， 则 Sn+1=﹣ [2+（﹣2）n+2]，Sn+2=﹣ [2+（﹣2）n+3]， 由 Sn+1+Sn+2=﹣ [2+（﹣2）n+2]﹣ [2+（﹣2）n+3]， =﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2+（﹣2）n+1]， =﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]， =2Sn， 即 Sn+1+Sn+2=2Sn， ∴Sn+1，Sn，Sn+2 成等差数列． 18． （12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ，求该四棱 锥的侧面积． 【解答】证明： （1）∵在四棱锥 P﹣ABCD 中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又 AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面 PAD， ∵AB? 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD． 解： （2）设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连结 PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面 PAB⊥平面 PAD， ∴PO⊥底面 ABCD，且 AD= ∵四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ， 第 17 页（共 23 页） = ，PO= ， 由 AB⊥平面 PAD，得 AB⊥AD， ∴VP﹣ABCD= = = = = ， ，PO= ， 解得 a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ∴PB=PC= =2 ， ∴该四棱锥的侧面积： S 侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC = = =6+2 ． + + + 19． （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从 该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm） ．下面是检验员在一 天内依次抽取的 16 个零件的尺寸： 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 1 9.95 9 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 4 9.96 12 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 7 9.98 15 8 10.04 16 9.95 ≈0.212， 零件尺寸 10.26 经计算得 = 10.13 10.02 10.04 10.05 = xi=9.97，s= ≈18.439， （xi﹣ ） （i﹣8.5）=﹣2.78，其中 xi 为抽取的第 i 个 零件的尺寸，i=1，2，…，16． （1）求（xi，i） （i=1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生 第 18 页（共 23 页） 产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 r＜0.25，则可以 认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小） ． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ ﹣3s， +3s）之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进 行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（ ﹣3s， +3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生 产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差． （精确到 0.01） 附：样本（xi，yi） （i=1，2，…，n）的相关系数 r= ， ≈0.09． 【解答】 解： （1） r= = =﹣0.18． ∵r＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地 变大或变小． （2） （i） =9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606） ， 显然第 13 号零件尺寸不在此范围之内， ∴需要对当天的生产过程进行检查． （ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为 =16×0.2122+16×9.972=1591.134， ∴剔除离群值后样本方差为 ∴剔除离群值后样本标准差为 （1591.134﹣9.222﹣15×10.022）=0.008， ≈0.09． =10.02， 20． （12 分）设 A，B 为曲线）求直线 AB 的斜率； 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4． 第 19 页（共 23 页） （2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求 直线 AB 的方程． 【解答】解： （1）设 A（x1， ） ，B（x2， ）为曲线 C：y= 上两点， 则直线 AB 的斜率为 k= = （x1+x2）= ×4=1； ， （2）设直线 AB 的方程为 y=x+t，代入曲线t， 再由 y= 的导数为 y′= x， ） ，可得 M 处切线的斜率为 m， 设 M（m， 由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 m=1， 解得 m=2，即 M（2，1） ， 由 AM⊥BM 可得，kAM?kBM=﹣1， 即为 ? =﹣1， 化为 x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得 t=7． 则直线 AB 的方程为 y=x+7． 21． （12 分）已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x． （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）≥0，求 a 的取值范围． 【解答】解： （1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x， ∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a） （ex﹣a） ， ①当 a=0 时，f′（x）＞0 恒成立， ∴f（x）在 R 上单调递增， 第 20 页（共 23 页） ②当 a＞0 时，2ex+a＞0，令 f′（x）=0，解得 x=lna， 当 x＜lna 时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 当 x＞lna 时，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， ③当 a＜0 时，ex﹣a＜0，令 f′（x）=0，解得 x=ln（﹣ ） ， 当 x＜ln（﹣ ）时，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减， 当 x＞ln（﹣ ）时，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增， 综上所述，当 a=0 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 a＞0 时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当 a＜0 时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ） ）上单调递减，在（ln（﹣ ） ，+∞）上 单调递增， （2）①当 a=0 时，f（x）=e2x＞0 恒成立， ②当 a＞0 时，由（1）可得 f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0， ∴lna≤0，∴0＜a≤1， ③当 a＜0 时，由（1）可得： f（x）min=f（ln（﹣ ） ）= ∴ln（﹣ ）≤ ， ∴﹣2 ≤a＜0， ，1] ﹣a2ln（﹣ ）≥0， 综上所述 a 的取值范围为[﹣2 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲]（10 分） 22． （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数） ． ， （θ 为参数） ， （1）若 a=﹣1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的最大值为 【解答】 解： （1） 曲线 C 的参数方程为 ，求 a． （θ 为参数） ， 化为标准方程是： 第 21 页（共 23 页） +y2=1； a=﹣1 时，直线 l 的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程 ， 解得 或 ， 所以椭圆 C 和直线）l 的参数方程 ， ） ． （t 为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆 C 上的任一点 P 可以表示成 P（3cosθ，sinθ） ，θ∈[0，2π） ， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 为： d= 值为 ． = ，φ 满足 tanφ= ，且的 d 的最大 ①当﹣a﹣4≤0 时，即 a≥﹣4 时， 5sin（θ+4）﹣a﹣4≤﹣5﹣a﹣4=5+a+4=17 解得 a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0 时，即 a＜﹣4 时 5sin（θ+4）﹣a﹣4≤5﹣a﹣4=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得 a=﹣16＜﹣4，符合题意． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．已知函数 f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=x+1+x﹣1． （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求 a 的取值范围． 【解答】解： （1）当 a=1 时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x= 的二 次函数， 第 22 页（共 23 页） g（x）=x+1+x﹣1= ， 当 x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得 x= ，g（x）在（1，+∞）上单 调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时 f（x）≥g（x）的解集为（1， ]； 当 x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当 x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（﹣1）=f（﹣ 1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]； （2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2 在[﹣1，1]恒成立，即 x2﹣ax﹣2≤0 在[﹣1，1] 恒成立，则只需 故 a 的取值范围是[﹣1，1]． ，解得﹣1≤a≤1， 第 23 页（共 23 页）

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