【www.xushengjz.com--绕口令练习】

　　定义新运算 1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。 2. 如 果 a △ b 表 示 ( a ? 2 ) ? b , 例 如 3 △ 4 ? ( 3 ? 2 ) ? 4 ? 4 , 那 么 , 当 a △ 5=30 时 , a= 。 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= 。 4.已知 a,b 是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1, a ? b ? ab ? 2 ,那么 4 ? ?( 6 ? 8 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? 。 5.x 为正数,x表示不超过 x 的质数的个数,如5.1=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么19+93+4×1×8的值是 。 6.如果 a⊙b 表示 3 a ? 2 b ,例如 4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当 x⊙5 比 5⊙x 大 5 时, x= 。 7.如果 1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么 4※5= 。 8.规定一种新运算“※”: a※b= a ? ( a ? 1) ? ? ? ? ? ( a ? b ? 1) .如果(x※3)※4=421200,那么 x= 。 9.对于任意有理数 x, y,定义一种运算“※” ，规定:x※y= ax ? by ? cxy ,其中的 a , b , c 表示 已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道 1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则 m 的数 值是 。 10.设 a,b 为自然数,定义 a△b ? a 2 ? b 2 ? ab 。 (1)计算(4△3)+(8△5)的值； (2)计算(2△3)△4； (3)计算(2△5)△(3△4)。 11.设 a，b 为自然数，定义 a※b 如下:如果 a≥b，定义 a※b=a-b，如果 ab，则定义 a※b= b-a。 (1)计算:(3※4)※9； (2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?①a※b= b※a; ②(a※b)※c= a※(b※c)。 12.设 a,b 是两个非零的数,定义 a※b ? a b ? b a 。 (1)计算(2※3)※4 与 2※(3※4)。 (2)如果已知 a 是一个自然数，且 a※3=2,试求出 a 的值。奥数六年级 13.定义运算 “⊙” 如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a ⊙b。比如:10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 10⊙14=70-2=68。 (1)求 12⊙21,5⊙15； (2)说明，如果 c 整除 a 和 b,则 c 也整除 a⊙b；如果 c 整除 a 和 a⊙b，则 c 也整除 b； (3)已知 6⊙x=27,求 x 的值。 答案 一、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1． 分）规定：a※b=（b+a）× （3 b，那么（2※3）※5= 100 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据 a※b=（b+a）× b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※3）※5 的 值． 解答： 解：因为，2※3=（3+2）× 3=15， 所以， （2※3）※5=15※5=（5+15）× 5=100， 故答案为：100． 点评： 解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解 答出要求式子的值． 1665141 2． 分）如果 a△ b 表示（a﹣2）× （3 b，例如 3△ 4=（3﹣2）× 4=4，那么，当 a△ 5=30 时， a= 8 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据“a△ b 表示（a﹣2）× b，3△ 4=（3﹣2）× 4=4，”得出新的运算方法，再用新的运 算方法计算 a△ 5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出 a 的值． 解答： 解：因为，a△ 5=30， 所以， （a﹣2）× 5=30， 5a﹣10=30， 5a=40， a=8， 故答案为：8． 点评： 解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可． 1665141 3． 分）定义运算“△ ”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的 （3 和记为 a△ b． 例如： 6= 4△ （4， +[4， 6） 6]=2+12=14． 根据上面定义的运算， 18△ 12= 42 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据新运算知道，求 18△ 12，就是求 18 和 12 的最大公约数与最小公倍数的和，由此 1665141 即可解答． 解答： 解：因为，18 和 12 的最大公约数是 6，最小公倍数是 36， 所以，18△ 12=（18，12）+[18，12]=6+36=42； 故答案为：42． 点评： 解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可． 4． 分） （3 已知 a， 是任意有理数， b 我们规定： a⊕b=a+b﹣1， a?b=ab﹣2， 那么 4?[ （6⊕8） ⊕（3?5）]= 98 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据 a⊕b=a+b﹣1，a?b=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算 4?[（6⊕8）⊕（3?5）]的值． 解答： 解：4?[（6⊕8）⊕（3?5）]， =4?[（6+8﹣1）⊕（3× 5﹣2）]， =4?[13⊕13]， =4?[13+13﹣1]， =4?25， =4× 25﹣2， =98， 故答案为：98． 点评： 解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可． 1665141 5． 分）x 为正数，＜x＞表示不超过 x 的质数的个数，如＜5.1＞=3，奥数六年级即不超过 5.1 的质 （3 数有 2，3，5 共 3 个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞× ＜1＞× ＜8＞＞的值是 11 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据题意，先求出不超过 19 的质数的个数，再求出不超过 93 的质数的个数，而不超 过 1 的质数的个数是 0， 所以＜4＞× ＜1＞× ＜8＞的值是 0， 因此即可求出要求的答案． 解答： 解：因为，＜19＞为不超过 19 的质数，有 2，3，5，7，11，13，17，19 共 8 个， ＜93＞为不超过的质数，共 24 个， 并且，＜1＞=0， 所以，＜＜19＞+＜93＞+＜4＞× ＜1＞× ＜8＞＞， =＜＜19＞+＜93＞＞， =＜8+24＞， =＜32＞， =11， 故答案为：11． 点评： 解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找 出对应量，解答即可． 1665141 6． 分）如果 a⊙b 表示 3a﹣2b，例如 4⊙5=3× （3 4﹣2× 5=2，那么，当 x⊙5 比 5⊙x 大 5 时， x= 6 ． 考点： 定义新运算。 1665141 分析： 根据所给的运算方法，将 x⊙5 比 5⊙x 大 5 写成方程的形式，解答方程即可． 解答： 解：由 x⊙5﹣5⊙x=5，可得： （3x﹣2× 5）﹣（3× 5﹣2x）=5， 5x﹣25=5， x=6， 故答案为：6． 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即 可． 7． 分）如果 1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么 4※5= 45678 ． （3 考点： 定义新运算。 分析： 根据“1※4=1234，2※3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：※的前一个数字是等号 后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从※前面的数开始连续， 然后运用新的运算方法计算 4※5 的值即可． 解答： 解：由于 1※4=1234，2※3=234，7※2=78， 所以 4※5=45678； 故答案为：45678． 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解 答即可． 1665141 8． 分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：5○3=3○5=5，符号△ 表 （3 示选择两数中较小数的运算，例如：5△ 3=3△ 5=3． 请计算： = ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△ 表示选择两数中较小数的运算，得 出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案． 解答： 解： ○ = ○ = ， 1665141 0.625△ △ = △ = △ = ， = ， О2.25= О = ， 所以： = = ； 故答案为： ． 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可． 9． 分）规定一种新运算“※”：a※b=a× （3 （a+1）×…×（a+b﹣1） ．如果（x※3）※4=421200， 那么 x= 2 ． 考点： 定义新运算。 分析： 先根据“a※b=a× （a+1）×…×（a+b+1）”，知道新运算“※”的运算方法，由于（x※3） ※4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为 y，再根据新 的运算方法，由此即可求出要求的答案． 解答： 解：令 x※3=y，则 y※4=421200， 1665141 又因为，421200=2 × × × 3 5 13=24× 26× 25× 27， 所以，y=24，即 x※3=24， 3 又因为，24=2 × 3=2× 4， 3× 所以，x=2； 故答案为：2． 点评： 解答此题的关键是， 根据新运算方法的特点， 只要将整数写成几个自然数连乘的形式， 即可得出答案． 10． 分）对于任意有理数 x，y，定义一种运算“※”，规定：x※y=ax+by﹣cxy，其中的 a， （3 b，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道 1※2=3，2※3=4，x※m=x （m≠0） ，则 m 的数值是 4 ． 考点： 定义新运算。 分析： 根据 x※y=ax+by﹣cxy， 找出新的运算方法， 根据新的运算方法，奥数六年级 1※2=3， 将 2※3=4， x※m=x 写成方程的形式，即可解答． 解答： 解：由题设的等式 x※y=ax+by﹣cxy 及 x※m=x（m≠0） ，得 a?0+bm﹣c?0?m=0， 所以 bm=0，又 m≠0，故 b=0， 因此 x※y=ax﹣cxy， 1665141 4 4 2 由 1※2=3，2※3=4，得 ， 解得 a=5，c=1， 所以 x※y=5x﹣xy，令 x=1，y=m， 得 5﹣m=1， 故 m=4； 故答案为：4． 点评： 解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即 可． 二、解答题（共 4 小题，满分 0 分） 2 2 11．设 a，b 为自然数，定义 a△ b=a +b ﹣ab． （1）计算（4△ 3）+（8△ 5）的值； （2）计算（2△ 3）△ 4； （3）计算（2△ 5）△ （3△ 4） ． 考点： 定义新运算。 2 2 分析： 根据“a△ b=a +b ﹣ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可． 解答： （1） 解： （4△ 3）+（8△ 5） ， 2 2 2 2 =（4 +3 ﹣4× 3）+（8 +5 ﹣8× ， 5） =1++49， =62； （2） （2△ 3）△ 4， 2 2 =（2 +3 ﹣2× 3）△ 4， =7△ 4， 1665141 =7 +4 ﹣7× 4， =37； （3） （2△ 5）△ （3△ 4） ， =（2 +5 ﹣2× 5）△ （3 +4 ﹣3× ， 4） =19△ 13， 2 2 =19 +13 ﹣19× 13， =283； 答： （1）62， （2）37， （3）283． 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解 答即可． 12． a， 为自然数， 设 b 定义 a※b 如下： 如果 a≥b， 定义 a※b=a﹣b， 如果 a＜b， 则定义 a※b=b ﹣a． （1）计算： （3※4）※9； （2）这个运算满足交换律吗？满足结合律吗？也是就是说，下面两式是否成立？ ①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c） ． 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据“如果 a≥b，定义 a※b=a﹣b，如果 a＜b，则定义 a※b=b﹣a，”得出新的运 算方法，再利用新的运算方法计算（3※4）※9 的值即可； （2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明 ①和 ②这两个等 式是否成立． 解答： （1） 解： （3※4）※9=（4﹣3）※9=1※9=9﹣1=8； （2）因为表示 a※b 表示较大数与较小数的差，显然 a※b=b※a 成立，即这个运算满 是交换律， 但一般来说并不满足结合律， 例如： （3※4） ※9=8， 3※ 而 （4※9） （9﹣4） =3※ =3※5=5 ﹣3=2， 所以，这个运算满足交换律，不满足结合律； 答：这个运算满足交换律，不满足结合律． 点评： 解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解 答即可． 1665141 2 2 2 2 2 2 13．设 a，b 是两个非零的数，定义 a※b= ． （1）计算（2※3）※4 与 2※（3※4） ． （2）如果已知 a 是一个自然数，且 a※3=2，试求出 a 的值． 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据 a※b= 1665141 ，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（2※3）※4 与 2※（3※4）即可； （2）根据新运算方法将 a※3=2，转化成方程的形式，再根据 a 是自然数，即可求出 a 的值． 解答： （1）按照定义有 2※3= ，3※4= ， 于是（2※3）※4= ※4= ， 2※（3※4）=2※ ； （2）由已知得 若 a≥6，则 ≥2，从而 ① 与①矛盾， 因此 a≤5，对 a=1，2，3，4，5 这 5 个可能的值， 一一代入①式中检查知， 只有 a=3 符合要求． 点评： 解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要 求的式子即可． 14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数 a 和 b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为 a⊙b．比如：10 和 14，最小公倍数为 70，最大公约数为 2，则 10⊙14=70﹣2=68． （1）求 12⊙21，5⊙15； （2）说明，如果 c 整除 a 和 b，则 c 也整除 a⊙b；如果 c 整除 a 和 a⊙b，则 c 也整除 b； （3）已知 6⊙x=27，求 x 的值． 考点： 定义新运算。 分析： （1）根据新的定义运算，先求出 12 与 21 的最小公倍数和最大公约数，5 与 15 的最 小公倍数和最大公约数，问题即可解决； （2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明； （3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小 探索范围，即根据 6 与 x 的最小公倍数不小于 27+1，不大于 27+6，由此即可得出答 案． 解答： （1）因为，12 与 21 的最小公倍数和最大公约数分别为 84，3， 解： 1665141 所以，12⊙21=84﹣3=81， 同样道理 5⊙15=15﹣5=10； （2）如果 c 整除 a 和 b，那么 c 是 a 和 b 的公约数，则 c 整除 a，b 的最大公约数， 显然 c 也整除 a，b 最小公倍数， 所以 c 整除最小公倍数与最大公约的差，即 c 整除 a⊙b， 如果 c 整除 a 和 a⊙b，由 c 整除 a 推知 c 整除 a，b 的最小公倍数， 再由 c 整除 a⊙b 推知，c 整除 a，b 的最大公约数，而这个最大公约数整除 b， 所以 c 整除 b； （3）因为 6 与 x 的最小公倍数不小于：27+1=28，不大于：27+6=33， 而 28 到 33 之间，只有 30 是 6 的倍数， 可见 6 和 x 的最小公倍数是 30， 因此，它们的最大公约数是 30﹣27=3， 由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”， 得到：30× 3=6× x， 6x=90， x=15， 所以 x 的值是 15． 点评： 解答此题的关键是，根据定义新运算，得出新的运算意义，再利用新的运算意义和运 算方法，解答即可．

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